Les tracés du jardinier

Partie A : une haie elliptique

Un jardinier souhaite tracer le contour d'une haie dans un jardin pour y planter des fleurs. Il procède de la manière suivante. Tout d'abord, il plante deux poteaux \(\text{A}\) et \(\text{B}\), à une distance de \(4\) m, auxquels il attache une corde aux deux extrémités. Puis il tend la corde à l'aide d'un bâton et, en gardant la corde toujours en tension, il trace une courbe par terre.Le fichier de géométrie dynamique suivant permet de simuler le tracé. Déplacer le point `\text{P}` pour tracer la courbe du jardinier. Cette courbe est une ellipse.
1. Dans la situation du fichier de géométrie dynamique, expliquer pourquoi la longueur de la corde doit être strictement supérieure à \(4\) m.
2. Changer la longueur de la corde, puis tracer et observer plusieurs ellipses avec des cordes de longueurs différentes.

3. Comment faudrait-il modifier la méthode du jardinier pour tracer un cercle ?

Partie B : un tracé parabolique

Le jardinier doit tracer une autre haie, il souhaite qu'elle ait la forme d'une parabole. Pour ce faire, il place un poteau à proximité du mur qui limite le jardin et il dispose d'une corde « extensible ».
Le fichier de géométrie dynamique suivant permet de simuler le tracé de la parabole.

1. En déplaçant le point `\text{P}`, tracer et observer le tracé de la haie parabolique.
2. À partir des valeurs numériques qui s'affichent et qui donnent la longueur de la corde utilisée, conjecturer la méthode utilisée par le jardinier pour tracer le contour de la haie parabolique. 

Partie C : un décor hyperbolique !

Le jardinier est enthousiaste de ces nouveaux tracés et décide d'aller encore plus loin. Il appelle son collègue jardinier du jardin voisin. Ensemble, ils mettent au point un protocole pour tracer deux parterres dans lesquels ils souhaitent planter de magnifiques fleurs colorées. Les deux jardins seront, ainsi, symétriques vus d'en haut.
Pour rendre le tout encore plus spectaculaire, ils décident que les parterres auront la forme de deux branches d'hyperbole.
Pour ce faire, ils plantent, chacun, un poteau dans leur propre jardin à la même distance du mur. Puis, à tour de rôle, ils déplacent le bâton `\text{P}` suivant une méthode qu'ils ont établie.

Le fichier de géométrie dynamique suivant montre le tracé hyperbolique déjà effectué.

En déplaçant le point `\text{P}` et en observant les mesures des distances qui s'affichent, conjecturer le protocole utilisé par les deux jardiniers.